脑与数学（1）

书名：脑与数学

作者：［法］斯坦尼斯拉斯·迪昂（Stanislas Dehaene）

译者：周加仙等

大胆应战脑科学研讨的终极问题

大脑是目前人类发现的最复杂的结构，是除宇宙之外人类最大的未解之谜，宛若研讨范畴最闪烁的一顶王冠。而王冠之上那颗绚烂的明珠，则要属认识研讨——它如此令人入迷，如此深不可测，充溢应战性，吸收着全世界一切科学和脑研讨范畴的巨擘的眼光，他们也正为探求人类认识之谜做着杰出贡献。

在他们之中，作为全世界最有影响力的认知神经科学家之一，斯坦尼斯拉斯·迪昂厥功至伟。

“神经科学界诺贝尔奖”取得者

迪昂是目前欧洲脑科学研讨范畴的领头人、法兰西学院实验认知心理学教授、著名认知神经科学家，其研讨触及脑与认识、数学、阅读等多个范畴，均取得了令世人注目的成果，好比，他经过实验在大脑中发现了客观认识的客观标记，让人们能真正“看见”认识。他已在《自然》《科学》等国际权威杂志上发表300多篇文章，是脑科学及数学认知范畴公认的专家。

迪昂是一位世界级的科学家，他开创了一系列研讨认识的实验，这些实验彻底改动了这一范畴，并为我们带来了第一个直接研讨认识生物学的措施。

埃里克·坎德尔

Eric Kandel

2000年诺贝尔生理学或医学奖取得者

由于为人类大脑范畴的研讨做出了重要贡献，2014年，迪昂同其他两位科学家共同取得了有“神经科学界诺贝尔奖”之称的“大脑奖”。该奖项每年评选一次，奖金100万欧元，是世界上影响力最大、最有重量的脑科学研讨奖项。迪昂实至名归。

站在伟人肩上的探求者

其实，迪昂最初所学的专业并非认知神经科学，而是数学。他本科毕业于巴黎高等师范学院数学专业，又取得巴黎第六大学应用数学及计算机科学专业硕士学位。

后来，受让-皮埃尔·尚热（Jean-Pierre Changeux）在神经科学方面的研讨吸收，他将研讨方向转向了心理学及神经科学，跟随认知神经科学开创人乔治·米勒、转换生成语法理论开创人诺姆·乔姆斯基、认知延展理论开创人让·皮亚杰三位巨匠的学生杰柯·梅勒学习，取得博士学位，可谓传承了三位“师爷”的聪慧结晶。

众多范畴的先驱开辟者

迪昂在他触及的各研讨范畴都是先驱研讨者。

在数学认知范畴，迪昂是公认的专家，他的《脑与数学》一书被哈佛大学等著名大学用作专业教材。迪昂也是言语及阅读范畴的专家，他在《脑与阅读》一书中提出关于人类阅读才干的新理论，有力地驳斥了大脑具有无限学习才干的传统观念；另外，他在阅读障碍及阅读学习方面取得的研讨成果，对教育范畴也同样具有重要参考价值。在另一本佳作《脑与认识》一书中，迪昂总结了近20年来关于认识与思想的前沿研讨成果，翻开了脑科学范畴研讨的新篇章。

迪昂的科学探求还在继续，他将不时应战更难、更复杂的问题，破解大脑中更多未被开发或未被探求的秘密，进一步辅佐人类拓宽视野，为解开人类大脑之谜谱写新篇章。

献给吉莱纳（Ghislaine）、奥利弗（Oliver）、大卫（David）和纪尧姆（Guillaume）

前言

科学著作是无意间构成的时间胶囊。它没有保质期，这就表明，在图书出版之后的多年里，读者能够运用他们的博闻广识，对书中所提出的理论、事实和证据进行评价。《脑与数学》一书是我15年前在20多岁时完成的一本著作，它同样也契合这一规律。

20世纪90年代初期，我开端着手撰写《脑与数学》一书，侥幸的是，当时对数量的研讨尚处于初级阶段，只需少数实验室刚刚触及这一范畴的表层。一些研讨者关注婴儿如何感知物体的汇合，一些研讨者则关注学龄儿童学习乘法口诀表的方式，还有一些研讨者则更关注脑损伤所惹起的计算才干受损的患者的怪异行为。最后，还有一些研讨者，好比我，为了弄分明学生被问及简单的算术问题（好比，6比5大吗？）时哪些脑区会被激活，率先进行了脑成像研讨。当时，我们之中只需少数人认识到，有朝一日，这些研讨会集聚为一个独立的范畴——数学认知范畴，会经过多层面的技术来回答神经学家沃伦·麦卡洛克（Warren McCulloch）那个令人振奋的问题：

人能够了解的数字是什么？能够了解数字的人是什么样的？

对《脑与数学》一书，我独一的写作目的是，整合能搜集到的有关人脑如何进行初级算术的一切事实，并证明一个实考证据丰厚、具有宽广前景的全新范畴正在萌芽。同时，我也希望此书能够阐明古代哲学关于数学实质的争论。在对这一新兴范畴的一切分支研讨进行整合的那三年里，我认识到，这些复杂的研讨能够整合为一个契合逻辑的整体，因而，我的研讨热情日积月累。对动物的研讨表明，它们具有加工近似数量的古老才干，这种“数感”在人类的婴儿阶段同样存在，它赋予人类数量直觉。而诸如算盘或阿拉伯数字这样的文化产物，则将这种直觉转换为我们对符号数学的全面认知才干。因而，对数感的相关脑结构进行认真研讨，显然能够解释人类对数学的了解，阐明进化过程，并将人类的数学才干与猴子以至老鼠和鸽子的脑表征数量的方式联络起来。

自15年前完成此书以来，一些创新性的研讨以史无前例的力气推进着这个范畴的延展。往常，数学认知是认知科学范畴中的一个成熟范畴，它不再只专注于数量的概念和来源，而是拓展至代数、几何等相关范畴。《脑与数学》一书中仅仅概述过的一些研讨主题，往常曾经延展成全面完好的研讨范畴，如动物的数感、数值计算的脑成像研讨、数学学习艰难儿童的障碍实质等。其中最令人兴奋的一个突破性进展，是在猴脑中发现了担任数量编码的单个神经元，它们位于顶叶皮层的一个特定位置，这个区域对应于人类进行运算时所激活的脑区。另一个突飞猛进的延展，是这些学问在教育中的应用。我们开端了解学校教育如何培育学生对精确数量和算术的了解，以及如何用简单的游戏和软件辅佐那些可能存在计算障碍的儿童。

重读此书的第1版时，我欣喜地发现，固然这些想法在15年前有几分猜测性，但往常它们都已萌芽。既然这些研讨曾经证明了这些想法，我以为《脑与数学》一书应该再版了。诚然，1997年以来出版了许多优秀的书籍，其中有布赖恩·巴特沃思（Brian Butterworth）在1999年所著的《数学脑》（ The Mathematical Brain）、拉斐尔·努涅斯（Rafael Nuez）和乔治·莱考夫（George Lakoff）于2000年所著的《数学来自哪里》（ Where Mathematics Comes From），以及杰米·坎贝尔（Jamie Campbell）在2004年编写的《数学认知手册》（ Handbook of Mathematical Cognition），但是没有一本书包含了往常我们对脑与数学的一切认识。

十分感激我的代理人马克斯·布罗克曼（Max Brockman）和约翰·布罗克曼（John Brockman），也十分感激编辑阿比·格罗斯（Abby Gross）和奥迪尔·雅各布（Odile Jacob），是他们鼓舞我撰写这本新版的《脑与数学》，并辅佐我肯定此书的撰写方式。我们分歧以为重写旧版较为棘手，以至有些冒失。重要的是，我们要让读者感遭到这个范畴在过去20年间是如何构成的，是什么激起了我们提出往常的假定和实验措施，在此之后又取得了哪些进展，以及它如何充实或者驳斥了我们的理论（所幸后者不太多）。因而，我们所构思的第2版没有改动过去的版本，但会运用新的文献对其进行弥补，特别是会弥补一个新的章节，以较长的篇幅勾勒出自第1版出版至今该范畴中最重要的发现。过去15年间，这个范畴阅历了庞大的延展，所以选择将要收入最终章节的相关研讨是一项艰巨的任务。的确，相关的科学发现不胜枚举，我决议选择能够从大脑层面论述算术的实质以及论述如何进行算术教学的一小部分惊人的发现。

大多数数学家，或显或隐，都是柏拉图主义者（Platonists）。他们以为自己所探求的范畴独立于人类思想而存在，它比生命更古老，是宇宙结构的固有成分。巨大的数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind）在他的专著《数的实质及其意义》（ The Nature and Meaning of Numbers）中却不这样以为。他以为，数是“人类思想的自由创作”，是“地道思想规律的直接产物”。我十分认同这一观念，但是解释证明这一观念的重担就落在了心理学家和神经科学家的肩上。他们需求弄分明，一个仅仅由神经细胞构成的有限的大脑是如何运用这类笼统思想的。这本书能够为解答这一引人入胜的问题做出些许贡献。

斯坦尼斯拉斯·迪昂

2010年7月

引言

任何诗人，即便是最厌恶数学的诗人，为了写出亚历山大式的诗行也不得不从1数到12。

——雷蒙·凯诺（Raymond Quéneau）

在我第一次坐下来写这本书时，我遇到了一个有些荒唐的算术问题：假如这本书估量有250页，一共9个章节，那么每章有几页？认真思索以后，我得出了却论：每章略少于30页。我花了大约5秒的时间，关于人类来说，这样的计算速度并不算慢，但是这却远远比不上任何一台电子计算器的速度。计算器不只反响疾速，而且它得出的结果精确到了小数点后10位：27.777 777 777 8！

为什么我们的心算才干远不如计算器的计算才干？我们是如何做到不经过精确计算就得出“略少于30页”这样接近的值的？这一过程以至连最好的电子计算器都做不到。解答这些令人搅扰的问题就是本书的主要目的，在此过程中，我们会面临更多具有应战性的谜题：

·　为什么经过了多年锻炼后，依旧有不少人不能肯定7乘以8的结果是54还是64，或者是56？

·　为什么我们的数学学问如此脆弱，一次细微的脑损伤就足以彻底破坏数感？

·　5个月大的婴儿怎样会知道“1+1=2”？

·　像黑猩猩、老鼠和鸽子这样没有言语的动物，怎样可能也具备一些初级算术学问？

我的假定是，这些问题的答案必将回溯至同一个本源：脑的结构。我们进行的每一次思索和计算都源于大脑皮层中特异性的神经回路的激活。笼统的数学建构源于脑神经回路的谐和运作，以及在人类产生之前，数百万种动物的脑塑造和选择了我们现有的数学工具。我们能了解神经结构给我们的数学活动带来的限制吗？

自达尔文以来，进化论不时都是生物学家的重要参考理论。就数学来说，生物进化和文化进化同样重要。数学不是原封不动的，不是天赐的圆满模范，而是随着人类的研讨探求不时演化的。即便是我们往常所运用的再简单不外的数字符号，也是历经几千年迟缓构成的。往常的乘法计算、平方根、实数集、虚数集以及复数集等概念也同样如此，一切这些概念依旧保存着其在近代艰难降生时所遗留的痕迹。

数学之所以会阅历如此迟缓的文化进化，应该归结于一个十分特别的生物器官：人脑。遭到自然选择规律的支配，人脑自身就是更为迟缓的生物进化的典型产物。自然选择的压力塑造了眼睛的精密生理机制、蜂鸟翅膀的外形、蚂蚁这样的小型“机器人”，同样也塑造了人脑。年复一年，物种更替，大脑中涌现了越来越多特异性的心理器官，这些结构优化了大脑对大量觉得信息流的处置，并使生物反响更顺应充溢竞争以至充溢敌意的环境。

人脑中特异性的心理器官之一是一种原始的数字处置器，它部分预设了学校教学中所讲授的算术内容。固然听起来不太可能，但是有些人以为“愚笨或是邪恶”的动物，好比鸽子或老鼠，实践上在计算方面很有天赋。它们能够在心理层面表征数量，并且能够依据一些算术规则对数量进行转化。研讨这些才干的科学家以为，动物具有一种心理模块，普通被称为“累加器”（accumulator），它能够存储不同的数量。在之后的章节中，我会向大家展示老鼠如何应用这个心理累加器来分辨由2个、3个或4个声音组成的声音序列，以及如何计算2个数量相加的近似值。累加器机制为感知觉开启了一个全新的维度，经过这一维度，感知一系列物体的大致数量就变得像感知物体的颜色、外形和位置一样简单。这种“数感”使人类以及其他动物都具有了解数量意义的直觉。

托比亚斯·丹齐格（Tobias Dantzig）在他的著作中颂扬“数字是科学的言语”，并强调了它作为数量直觉的初级方式的重要性：“人类即便处于较低的延展阶段，也具有这样一种技艺，我将其称为数感。这种技艺使得人们在不需求运用直接学问的状况下，在一个客体被移除或参与一个小汇合时，也能够认识到这个汇合发作了改动。”

丹齐格在1954年写下了上面这段话。当时让·皮亚杰的理论正引领着整个心理学范畴，他的理论承认儿童具有任何数学才干。直到20多年后，皮亚杰的建构主义才被彻底驳斥，而丹齐格的观念则被证明：一切人，即便是在他们生命的第一年中，都具有延展完好的数字直觉。后面我将剖析一些巧妙的实验，它们展示了人类婴儿远非一无所知，他们从刚出生开端就控制了一些零星的算术学问，堪比某些动物对数字的认知。仅6个月大的婴儿就曾经控制了初步的加减法！

但是千万不要产生误解。显然，只需成年人的脑才能够认识到37是一个素数，或者知道如何计算π的近似值，婴儿或动物是不可能做到这些的。事实上，这些才干依旧是某些文化背景中少数人的特权。婴儿的脑无法表示数学的灵活性，它们只能在有限的范围中运用少量的算术才干，更不用说动物的脑了。确切地说，动物的累加器不能处置离散量，而只能处置连续数量的估量值。鸽子永远也无法分辨49和50，由于它们只能以一种近似的、不时变更的方式来表征数量。关于动物来说，5加5并不等于10，而是10左右：可能是9、10或者11。如此低的数敏度和如此含糊的内部数字表征使动物无法构成有关精确算术的学问。动物受限于它们的脑结构，只能控制近似算术。

但是，进化赋予人类一种额外的才干：发明复杂符号系统，包含口头言语和口言语。单词和符号能够分辨意义相近的概念，这使得我们不用局限于近似值。言语使我们能够表白无限多的数字，而在这些表白方式中，延展最完善的是阿拉伯数字，它们能够表白和分别任何连续量。正由于这些表白方式的存在，我们才干将那些在数量上相似，但是在算术性质上却截然不同的数字分辨开来。也只需以此为基础，才能够结构出对两个数字进行比较、相加或相除时的纯方式化的规律。事实上，数字的产生并没有直接参照其他细致的对象，而是有着独属于它自己的生命进程，这样，数学的“脚手架”才干越搭越高，越来越笼统。

但是，我们会发现这中间存在一个悖论。自从10万年前智人呈现至今，人类的大脑没有任何实质性的改动。事实上，我们的基因经过随机变异的方式只能发作迟缓和微小的进化，需求经过上千次失败的尝试才干从一片喧哗中得到一个值得传送给下一代的有益基因变异。与此相反，文化的进化要疾速得多。任何想法、发明和进步，一旦在一些聪明的头脑中萌芽，就能经过言语和教育的方式传播给一切人。这就是我们今天所知道的数学在短短几千年间逐步构成的方式。数字的概念由巴比伦人提出，由希腊人完善，由印度人和阿拉伯人精炼，由理查德·戴德金和朱塞佩·皮亚诺（Guiseppe Peano）构成公理，再由埃瓦里斯特·伽罗瓦（variste Galois）进行概括，它从未中止过在不同文化中的演进，但是却没有请求对与数学有关的遗传物质进行任何改进！从初步的估量来看，爱因斯坦的脑与在马格德林时期绘制拉斯科洞窟的那位艺术巨匠的脑没有明显区别。在小学学习现代数学的儿童所具有的脑，起初的设计是为了在非洲大草原上生存。

我们如何使生物进化方面的惰性与闪电般快速延展的文化谐和分歧呢？特殊的现代工具，如正电子发射计算机断层扫描（PET）和功用性磁共振成像（fMRI），使得我们能够在活体人脑中取得担任言语、问题处置和心算活动的脑回路的影像。我们会看到，当大脑面临进化过程中没有遇到过的任务，好比两位数的乘法，它会调动一个庞大的脑区网络结构，固然这些脑区的原始功用与两位数乘法无关，但是将它们分离起来就能够抵达目的。除了与老鼠和鸽子一样的近似累加器，人脑中很可能不包含其他任何担任数字和数学任务的“算术单元”。但是，人脑经过运用其他替代回路弥补了这点缺乏，固然这些回路只能起迟缓而间接的作用，但对这项任务却或多或少是有用的。

因而，文化客体，好比书面文字或数字，能够被视为一种腐蚀原本用作他途的脑系统的“寄生物”。以文字阅读为例，有时这个“寄生物”会极富腐蚀性，以至能够完整替代某个脑区原先的功用。因而，一些在其他灵长类动物中担任辨认视觉对象的脑区，在能够阅读的人身上，则对辨认字母和数字串起着不可替代的特异性作用。

由于所处的背景和时期不同，人脑能够计划一场针对猛犸象的猎捕行动，或者构思对费马大定理（Fermat’s last theory）的论证，这使我们不得不惊叹于脑的灵活性。但是，这种灵活性不能被过高地估量。我以为脑回路的优势和局限恰恰决议了我们在数学学习方面的优点和短处。人脑，就像老鼠的脑一样，在远古时期就被赋予了对数量的直觉表征，这就是人类对处置近似值极具天赋的缘由，同时也解释了为什么“10大于5”的结果关于我们来说如此显而易见。相反，我们的记忆与计算机不同，不是经过数位来表示，而是以观念联想的方式运作，这或许解释了为什么我们在记忆由少量等式组成的乘法表时会如此艰难。

正如数学家的大脑逐步顺应数学的请求那样，数学对象也越来越顺应大脑的限制。数学的历史提供了充足的证据来证明人类的数字概念绝不是原封不动的，而是处于不时进化的进程中。多少世纪以来，数学家们勤劳工作，经过扩展数字符号的提高性、增加其在各范畴中的应用性，以及简化其方式等方式，促进了数字符号的用处。与此同时，数学家们在不经意间开发出了一些使得数字符号能够顺应人脑结构限制的措施。固然关于往常的儿童来说，几年的教育就足以让他们学会数字概念，但是我们不应该遗忘，在这之前，我们阅历了好几个世纪的完善才使这一系统的运转变得如儿童游戏普通轻而易举。往常的一些数学对象之所以显得十分直观简单，就是由于它们的结构十分契合人脑结构。但事情还有另一面，许多儿童觉得学习分数十分艰难，这是由于他们的皮层机制抵御这种违背直觉的概念。

假如脑的基本结构会给我们了解算术带来很大的限制，那么为什么一些儿童能够在数学范畴取得胜利呢？高斯、爱因斯坦和斯里尼瓦瑟·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan）等出色的数学家怎样会对数学对象如此熟习？一些智商为50的“智障学者”（idiot savant）又是如何在心算方面表示出特殊才干的？我们能否不得不做出这样的假定：一些人在出生时就具有特殊的脑结构，或是具有一种能够让他们成为天才的生理素质？其实，只需认真考证，我们就会发现这是不成立的。总之，到往常为止，简直没有证据能够证明，巨大的数学家和计算奇才被赋予了与众不同的神经生理结构。与其他人一样，数学家也要与步骤冗长的计算以及深奥的数学概念作斗争，假如他们胜利了，也只是由于他们在这个主题上投入了大量的时间，并且最终发现了圆满的算法，这些巧妙的、任何人经过努力都能学会的快捷措施，巧妙天时用了人脑结构的优点而逃避了其局限性。数学家们的特别之处在于，他们对数字和数学表示出极大的、不间断的激情。有时一种被称为孤独症（autism）的脑部疾病（表示为不能长期坚持正常的人际关系）会滋长这种激情。我置信，具有同样初始才干的儿童会由于他们对学科的喜欢或者痛恨而在数学学科中表示得出色或令人失望。激情孕育天才。因而，无论儿童对数学的态度是积极的还是消极的，父母和教员都负有一定的义务。

在《格列佛游记》（Gulliver’s Travel）中，乔纳森·斯威夫特（Jonathan Swift）这样描画了位于巴尔尼巴比岛（Balnibarbi Island）上的拉格多（Lagado）数学学校中所运用的奇特的教学措施：

我在一所数学学校，那里的教员运用一种对欧洲人来说完整无法想象的方式来教导学生。一切命题和论证都用着色药剂制成的墨水分明地写在一块薄饼干上。学生要空腹吞下这块饼干，且在接下来的3天中除了面包和水不能吃其他任何东西。等到饼干消化以后，墨水就会带着命题一同印刻在脑中。但是到目前为止其效果还无法判别，一方面是由于含量和成分方面的问题，另一方面是由于儿童十分顽固，这个“大药片”关于他们来说真实是太恶心了，所以他们总是偷偷溜到一边，在“药片”起作用之前就把它吐出来，他们也不会像“处方”上请求的那样长时间不吃其他东西。

固然斯威夫特的描画十分荒唐，但是把数学学习比作异化作用（assimilation）过程这个基本隐喻的确是合理的。归根结底，一切的数学学问都会被归入大脑的生理组织中。儿童所修读的任何一门数学课程都以数百万突触的变更为基础，这意味着普遍的基因表白和数十亿个神经递质和受体分子的构成，经过化学信号的调制来反映儿童对这个话题的关注水平和情感参与水平。人脑中的神经网络并不是十分灵活的，特定的结构使得某些数学概念比起其他的概念更容易被“消化”。

我希望我在这里表述的观念最终能够引领数学教学的改进。一门好的课程应当思索学习者大脑结构的优势与劣势。为了优化儿童的学习过程，我们应当思索教育和大脑发育会对心理表征的组织带来什么影响。显然，我们还远未了解学习能够在何种水平上改动我们的大脑机制。固然现有的学问极少，但依旧有些用处。20年来，认知科学家们积聚的关于大脑如何加工数学问题的结论至今还没有成为公众的共识，也没有渗透到教育范畴中。假如这本书能够作为一种催化剂，促进认知科学和教育学之间的交流，我将会十分快乐。

这本书将以生物学家的视角带领读者领略算术的世界，同时也不会忽视算术的文化组成。在第1章和第2章中，我会首先带领大家了解动物和人类婴儿的算术才干，继而让读者置信，人类所具有的数学才干早已出往常其他动物身上。在第3章我们会发现，其他动物用来加工数字的许多方式在人类成年人的行为中仍留有痕迹。在第4章和第5章中，经过察看儿童学习计数和计算的方式，我们尝试去了解人类如何抑止原始的近似系统的局限，以及学习高等数学给灵长类动物的大脑带来了怎样的应战。这为研讨现有的数学教学措施，以及考证它们在何种水平上顺应人的心理结构提供一个很好的契机。在第6章中，我们将寻觅能够将普通人和计算奇才或年轻的爱因斯坦似的天才分辨开来的特质。在第7章和第8章中，我将会带领大家了解大脑皮层的沟回，担任计算的那些神经元回路就存在于这些沟回中，它们会由于损伤或脑血管疾病而失能，从而使人丧失基本的数感。第9章总结了书中的这些实验数据在哪些方面影响了我们关于人脑和数学的了解。第10章则引见了自第一版出版以来，快速延展的数学认知研讨范畴那些令人兴奋的新发现。至此，我们的数学探秘之旅宣布终了。

一块石头，两座房子，三处废墟，四个掘墓人，一座花园，一些花朵，一只浣熊。

——雅克·普雷韦尔（Jacques Prévert），《清单》（Inventaire）

01　会算术的“天才”动物

从18世纪开端，有关自然历史的一些书中就传播着这样一则故事：

一只乌鸦将它的巢筑在一座塔上，而这座塔坐落在一个贵族的领地上，于是这个贵族就想将这只乌鸦射下来。但是每当贵族接近那座塔时，那只乌鸦就会飞到射程之外，一旦这个贵族分开，它又会重新回到自己的巢穴。贵族请他的邻居辅佐，两个猎手一同进入那座塔，之后他们中的一个分开了。但是乌鸦并没有掉入这个圈套，而是不时等到第二个人分开才返回自己的巢穴。后来，贵族又请来3个人、4个人、5个人辅佐，这些计策都没有蒙蔽这只聪明的鸟儿。每一次，这只乌鸦总能等到一切的人都分开才飞回巢穴。最后，6个猎手一同进入了那座塔，当他们中的第五个分开时，乌鸦自信地飞了回来，究竟它不是那么擅长计数，最终它被第六个猎手射落。

这个故事真实可信吗？没有人知道。我们也不分明这能否和数字才干有关：据我们所知，鸟类能够记住的是每个猎人的容颜，而不是猎人的数量。但是，我援用这个故事是由于它很好地阐明了动物的算术才干，而这正是本章要讨论的主题。首先，在许多严厉控制的实验中，鸟类和其他动物物种不需求经过特殊的锻炼就能表示出感知数量的才干。其次，这种感知并不是十分精确，随着数字的增大，这些参与实验的动物的感知精确率会降落，这就是为什么故事中的那只乌鸦混杂了5和6。最后，也是最滑稽的，这则故事通知我们，达尔文提出的自然选择的理论也同样适用于算术范畴。假如那只乌鸦能够数到6，那么它可能就不会被射中了！在许多物种中，估量捕食者的数量和残暴水平，量化和比较两种食物源的收益，这都是生死攸关的大事。这样的进化观念能够辅佐我们了解一些科学实验，它们能够提示动物进行数字计算时的复杂过程。

一匹名叫汉斯的马

在20世纪初，一匹名叫汉斯（Hans）的马登上德国报纸的头条。它的主人威廉·冯·奥斯滕（Wilhelm Von Osten）可不是一名普通的马戏团驯兽师，受抵达尔文观念的影响，他热衷于证明动物的智力水平。他用十多年的时间教他的马学习算术、阅读和音乐。固然锻炼的效果过了很久才表示出来，但是最终却大大超出了他的预期。这匹马似乎具有极高的智力，它能够处置算术问题，以至能够拼出单词！

冯·奥斯滕常常会在自家院子里向众人展示聪明的汉斯的才干。人们在汉斯的前面围成一个半圆，并向驯马师提出一个算术问题，好比：“5加3等于多少？”冯·奥斯滕会在汉斯面前的一张桌子上摆上5件物品，在另一张桌子上摆上3件物品。在认真审“题”之后，汉斯就会以蹄子敲击空中的方式来回答问题，敲击的次数与两数相加的和相同。但是，汉斯的数学才干远不止在这种简单的技艺上所表示的。对一些由观众口头提出或用数字符号写在黑板上的算术问题，汉斯仍能够轻松地处置（见图1-1）。汉斯还能处置两个分数相加的问题。好比“2/5+1/2”，它会先敲击9下，再敲击10下，给出9/10的答案。听说，即便是“28的约数有哪些”这样的问题，汉斯也能够给出十分精确的答案：2、4、7、14和28。显然，汉斯对数字学问的了解曾经远远胜过了那些聪明的小学生！

聪明的汉斯和它的主人站在一排令人印象深化的算术问题前。较大的黑板上显现的是马用来拼写单词时运用的数字代码。

图1-1　聪明的汉斯

资料来源：版权一切Bildarchiv Preussicher Kulturbesitz。

1904年9月，一个专家委员会对汉斯的技艺进行了深化彻底的调查，著名的德国心理学家卡尔·斯图姆夫（Carl Stumpf）也是委员会成员之一。他们最终得出结论：汉斯的技艺是真实的，并不存在诈骗性。但是，这个笼统的结论并没有使斯图姆夫的学生奥斯卡·芬格斯特（Oskar Pfungst）感到称心。在冯·奥斯滕的辅佐下——这位主人确信他的天才马具有极高的智力，芬格斯特开端对汉斯的才干进行系统的研讨。芬格斯特的实验，即便拿往常的规范来看，也是紧密和富有发明力的模范。他的研讨假定是：汉斯对数学基本一无所知，因而，一定是主人自己，或是人群中知道答案的某人，在汉斯敲击到正确数字的时分给了它荫蔽的信号，从而使它中止敲击。

为了证明这个假定，芬格斯特设计了一个措施，将汉斯对问题的认识与主人对问题的认识分辨开来。他将之前的程序进行了微小的调整：主人能够看到用很大的印刷体写在题板上的简单加法算式，之后题板会转向汉斯，使得它能够看见问题并解答。但是，在实验中，有时芬格斯特在向汉斯展示问题之前会暗中互换加法算式，好比，主人看到的是“6+2”，而实践上汉斯要尝试处置的问题是“6+3”。

在经过一些后续的细节控制之后，这项实验的结果十分明白。每当主人知道正确答案时，汉斯就能得出正确答案，而当主人不知道正确答案时，汉斯则会给出错误答案。另外，汉斯所给出的错误答案通常就是主人所等候的数字。显然，是冯·奥斯滕自己，而不是汉斯，得出了不同算术问题的答案。但是汉斯究竟是怎样知道要在何时中止敲击的呢？芬格斯特最终推断，汉斯真正惊人的才干在于它能够捕获到主人头部和眉毛的微小动作，而这些动作通常表明中止敲击的机遇。事实上，芬格斯特不时确信这位驯兽师是诚实的。他置信那些信号的发出完整是无认识的，而并非故意所为。即便冯·奥斯滕不在场，马也能继续给出正确的答案：显然，当敲击到正确的数字时，汉斯能够感遭到观众的心情中增长的慌张感。即便发现了汉斯能够应用哪些身体线索，芬格斯特也不能阻断人们与它进行无认识交流的一切方式。

芬格斯特的实验对“动物智力”的论证提出了严重质疑，同时也对那些像斯图姆夫一样自称专家却盲目认同这一论点的人的才干提出了质疑。的确，今天的心理学课堂中仍在讲授“聪明的汉斯现象”，它依旧意味着实验者的预期和干预可能对心理实验结果产生的不良影响，不论这种预期和干预多么微乎其微，不论实验对象是人还是动物。从历史层面来看，汉斯的故事在塑造心理学家和动物行为研讨者的批判性思想方面起了重要的作用，它让人们留意到严谨的实验设计的必要性。一个很难被留意到的刺激，好比眨眼，都能够影响动物的表示。因而，一个设计良好的实验必须避免一切可能的失误源。这一经验特别被行为主义者很好地接受了。好比斯金纳（Skinner），他做了大量的工作，努力于延展动物行为研讨的严谨实验范式。

但是，汉斯这个典型案例也对心文科学的延展产生了很多负面的影响。它使得人们对整个动物数字表征的研讨范畴充溢质疑。具有讽刺意味的是，每当有人证明动物的数字才干时，科学家们就会挑起眉毛，就似乎在给汉斯提供解题线索似的。人们总会有意无意地将此类实验与汉斯的故事联络起来，它们即便不被认定为是伪造的，也会被质疑设计存在缺陷。这其实是一种分歧理的成见。芬格斯特的实验只是证明了汉斯具有数字才干是一种巧合，并没有证明动物不可能了解算术的某些方面。在很长一段时间内，科学家们只是系统地寻觅一些实验倾向来解释动物行为，而完整不去思索“动物具有初始阶段的计算学问”这一假定。当时，即便是最有压服力的结果也不能压服任何人。一些研讨者以至倾向于以为动物有一种神秘的才干，例如“节拍分辨”的才干，而不愿意招认动物能够对客体汇合进行计算。简言之，科学界常常在倒洗澡水的时分，将婴儿也一同倒掉了。

在引入一些最终得到一切人（除了那些最多疑的研讨者）信服的实验之前，我想以一则现代故事来终了汉斯的故事。即便是在今天，对马戏团动物的锻炼用的也是与汉斯那时一样的花样。假如你曾经在一场表演中看到动物将数字相加、能拼写单词，或是做相似的令人惊奇的事情，你完整能够肯定，这些行为就像汉斯的行为一样，依托的是驯兽师和动物之间的荫蔽交流。我要再次强调，这种交流并不一定是有意的。驯马师通常是由衷地对他的“学生”的天赋确信无疑。几年前，我在一份瑞士本土的报纸上看到一篇有趣的文章。一位记者访问了吉勒（Gilles）和卡罗琳（Caroline），他们饲养的一只名为普佩特（Poupette）的贵妇犬似乎在数学上表示出超凡的天赋。图1-2中是普佩特自豪的主人，他正将一系列写在纸上需求相加的数字展示给他那位忠实而聪明的同伴。普佩特用爪子拍打主人的手，用拍打的次数表示确切的数字。当拍到正确的次数时，它会舔主人的手，在此过程中它没有呈现一次错误。据它的主人说，这只天才的贵妇犬只接受了很简短的锻炼就有了这种才干，这使他置信了轮回或相似的超自然现象。但是，这位记者敏锐地发现，当拍到正确数字时，这只狗能够从主人的眼皮或是手部的微小动作中取得提示。所以这的确是一种轮回：聪明汉斯的战略进行了一次轮回，在一个世纪之后，普佩特对其进行了一次惊人的重现。

普佩特，现代狗家族中的“聪明的汉斯”，据称这只狗能做加法运算。

图1-2　能做加法的狗

老鼠“会计师”

在汉斯事情之后，一些著名的美国实验室开端对动物的数学才干展开研讨。这类项目大多失败了，但是，德国著名动物行为学家奥托·克勒（Otto Koehler）的研讨却取得了一些成就。在他锻炼的乌鸦中，有一只名为雅各布（Jacob）的学会了在一些容器当选出钻有5个孔的那个盖子。由于在不同的实验轮次中，5个点的大小、外形和位置是随机改动的，所以这种表示只能被解释为“此乌鸦对数字5有精确的认知”。但是，克勒团队的这项成果影响甚微，一方面是由于其大部分的研讨结果只是在德国发表，另一方面是由于克勒的同事以为，他并没有扫除一切可能的失误源，照实验者间的无认识交流或嗅觉线索。

在20世纪五六十年代，美国哥伦比亚大学的动物心理学家弗朗西斯·梅希纳（Francis Mechner）与艾奥瓦大学的约翰·普拉特（John Platt）和大卫·约翰逊（David Johnson）一同，采用了一种令人信服的实验范式，我在这里粗略地引见一下。实验者将一只被暂时剥夺了食物的老鼠安置在封锁的盒子中，盒子里有A和B两根操作杆。操作杆B与一个机械设备相连，这个设备能够给出少量的食物。但是，这个奖赏系统并不是即时的。老鼠需求重复地按压操作杆A，只需按压到n次时，它才干在按下操作杆B时得到食物。假如这只老鼠过早地按压操作杆B，它不只不会得到任何食物，而且还会遭到惩罚。在不同的实验中，光线可能会消逝几秒，或者计数器会被重置，此时老鼠必须从头开端对操作杆A进行n次按压。

在这个不同寻常的实验中，老鼠的表示怎样呢？起初，经过重复尝试，它们发现，当按压了几次操作杆A后再按压操作杆B，食物就会呈现。逐步地，它们对按压次数的估量越来越精确。最后，在锻炼终了时，老鼠对实验者选择的数字n都有十分合理的认识。那些需求先按压4次操作杆A才干得到食物的老鼠的确按了大约4次。那些需求按压8次的老鼠，也一定会按压大约8次，依此类推（见图1-3）。即便请求的按压次数是像12和16这样的大数字，聪明的老鼠“会计师”也能够按压到正确的次数！

在梅希纳的实验中，老鼠在学习按压操作杆B之前，需先按压操作杆A抵达事前规则的次数。固然随着数字变大，估量值的变更范围也会扩展，但老鼠的按压次数与实验者规则的数字大致相当。

图1-3　老鼠“会计师”

资料来源：经作者和出版商答应，改编自Mechner, 1958；版权一切

1958 by the Society for the Experimental Analysis of Behavior。

其中有两个细节值得一提。第一，老鼠按压操作杆A的次数会略高于所请求的最低值——5次而不是4次。但是，这是一个极端理性的战略。它们过早地按压操作杆B会遭到惩罚，所以为了保险起见，它们宁愿多按1次操作杆A，也不敢少按1次。第二，即便是在遭到大量的锻炼之后，老鼠的行为仍旧不怎样精准。最理想的战略是精确地按压4次操作杆A，但是老鼠通常会按4次、5次或者6次，在一些实验中，它们以至会按压3次或者7次。它们的行为绝对不是“数字化”（digital）的，而且在每一个实验轮次中都会有变更。事实上，其变更范围会随着老鼠所估量的目的数字的增大而扩展。当目的按压次数是4时，老鼠的按压次数在3次到7次之间；而当目的次数是16时，老鼠的按压次数就会在12次到24次之间变更，跨度很大。看来，老鼠的估量机制相当不精准，与我们的数字计算器完整不同。

到了这个阶段，许多人可能会狐疑我能否过早地认定老鼠具有计数才干，以及我们能否真的找不到对老鼠行为的更为简单的解释。首先我要声明的是，“聪明的汉斯”效应不会对这类实验产生影响，由于老鼠被单独安置在笼中，而且一切的实验过程都由自动化的机械设备所控制。那么，老鼠是真的对操作杆的按压次数敏感，还是它们估量了从实验开端到中止按压的时间，或是应用了其他与数量无关的参量？假如老鼠以特定的频率按压，好比每秒1次，那么上述行为可能要用对时间的估量来解释，而不能用对次数的估量来解释。当按压操作杆A时，老鼠可能会依不同状况等上4秒、8秒、12秒或16秒再去按操作杆B。比起“老鼠能够数出自己的动作次数”这一假说，这样的解释显得更为简单，固然估量持续时间与估量数字实践上是同样复杂的操作。

为了驳斥这种有关时间估量的解释，梅希纳和洛朗斯·格夫雷基安（Laurence Guevrekian）采取了十分简单的控制措施：他们让老鼠的食物被剥夺水平产生差别。当老鼠真的很饿时，它们急于尽快得到食物奖励，所以会更快地按压操作杆。但是，这种频率的增加对它们按压操作杆的次数没有任何影响。被锻炼按压4次的老鼠，其压杆表示仍在3次到7次的范围内，而请求按压8次的，依旧会按压8次左右，对其他数字也同样如此。按压数的平均值和结果的离散水平都没有随着按压频率的增加而改动。显然，是数字参数而非时间参数促成了老鼠的行为。

美国布朗大学的拉塞尔·丘奇（Russell Church）和沃伦·梅克（Warren Meck）进行的一项较新的实验表明，老鼠自发地对事情的次数和持续时间给予同等水平的关注。在丘奇和梅克的实验中，实验者经过一个放置在鼠笼中的扬声器播放一串声音。一共有2个声音序列，序列A由2个音组成，一共持续2秒；序列B由8个音组成，持续8秒。老鼠需求分辨这两段声音。每放完一段声音，两根操作杆会被插入笼子中。为了得到食物奖励，老鼠在听到序列A时，必须按下左边的操作杆，而听到序列B时，必须按下右边的操作杆（见图1-4）。

梅克和丘奇锻炼老鼠在听到由2个音组成的短声音序列时按压左边的操作杆，在听到由8个音组成的长声音序列时按压右边的操作杆。在之后的实验中，老鼠也会自动地泛化锻炼的结果：当声音数一定时，它们能够分辨持续2秒的序列和持续8秒的序列（a）；而当持续时间一定时，它们能够分辨由2个音组成的序列和由8个音组成的列（b）。在两种条件下，4似乎都是2和8的“客观中点”，在这种状况下，老鼠无法决议应该按压哪边的操作杆。

图1-4　老鼠对事情次数和持续时间的关注度相同

资料来源：改编自Meck & Church, 1983。

几个初步实验表明，处于这种环境下的老鼠很快就学会了按压正确的操作杆。显然，它们能够应用两个截然不同的参数来分辨A和B：序列的总持续时间（2秒和8秒），或是音数（2个和8个）。那么，老鼠关注的是持续时间、音数，还是两个都关注？为了寻觅答案，实验者设计了一些测试声音序列，其中一些声音序列的持续时间固定而音数不同，而另外一些则是音数相同但持续时间不同。在第一种类型中，一切的序列都持续4秒，每个序列由2至8个音组成。在第二种类型中，一切的序列都由4个音组成，每个序列持续时间为2至8秒不等。在一切这些测试中，不论按压哪根操作杆，老鼠都能够得到食物奖励。研讨者的目的是想了解，在扫除了奖励的影响之后，这些新刺激对老鼠来说意味着什么。因而，这个实验测试的是老鼠将先前习得的行为泛化至新环境的才干。

结果了如指掌。在持续时间和数量方面，老鼠都能很容易地将习得行为进行泛化，以应对新的状况。当持续时间固定时，它们仍会在听到2个音时按压左边的操作杆，在听到8个音时按压右边的操作杆。反过来，当音数固定时，它们会在听到持续时间为2秒的声音序列时按压左边的操作杆，听到持续时间为8秒的声音序列时按压右边的操作杆。那么关于2到8之间的其他数，老鼠的表示如何呢？老鼠似乎会把呈现的刺激关联到最接近的已习得的刺激量。因而，在听到一个全新的、由3个音组成的序列时，老鼠会做出与听到2个音时一样的反响，当序列由5个或6个音组成时，其反响会与听到8个音时相同。奇特的是，当序列由4个音组成时，老鼠无法决议应当按压哪根操作杆。关于老鼠来说，4就是数字2和8之间的客观中点（subjective midpoint）！

需求留意的是，在锻炼过程中，老鼠并不知道它们会在后续的实验中进行持续时间不同还是音数不同的测试。因而，这个实验表明，当一只老鼠听到一段旋律时，其大脑会自发地同时处置持续时间和音数。假如你以为这个实验运用了条件反射的原理，是实验者或多或少教会了老鼠怎样计数，那就大错特错了。实践上，实验中的老鼠具有最高级的视觉、听觉、触觉和数字知觉的硬件条件。条件反射只是教动物将它不时具有的知觉才干（好比对刺激持续时间、颜色或是次数的表征），与新的动作（好比按压操作杆）联络起来。数字并不是外部世界中的一个复杂参数，它不比其他所谓客观参数或物理参数（好比颜色、空间位置或持续时间）更笼统。事实上，既然动物曾经具备了相应的脑模块，那么计算一个汇合中客体的近似数目理应与感知其颜色和方位一样简单。

我们往常知道，老鼠和其他许多物种一样，都会自发地关注各种数量信息：动作、声音、闪光、食物的数量。例如，有研讨者曾经证明，当实验者让浣熊在一些装有葡萄的透明箱子之间进行选择时，它能学会只选取装有3颗葡萄的箱子，而疏忽装有2颗或4颗葡萄的箱子。同样，在迷津任务中，无论通道间的距离有多远，老鼠都能够经过条件反射锻炼，选取左侧第4条通道。其他的研讨者教会了鸟在一组连通的笼子当选出它们发现的第5颗种子。另外，在一些状况下，鸽子能够估量自己啄击目的的次数，好比，它们能够分辨45次啄击和50次啄击之间的差别。最后再举一个例子。一些动物，包含老鼠，能够记得在特定环境中遭到奖励和惩罚的次数。美国普渡大学的卡帕尔迪（Capaldi）和丹尼尔·米勒（Daniel Miller）的一个精妙实验表明，当老鼠取得两种不同的食物奖励时，好比葡萄干和谷物，它们同时记住了三则信息：它们吃的葡萄干数和谷物数，以及总的食物种类。总的来说，算术才干在动物世界相当普遍，基本算不上特殊才干。它在辅佐动物生存方面的优势是显而易见的。一旦老鼠记住了它的藏身之处是左侧第4条通道，那它在迷津普通的黑暗巢穴中就会移动得更快；松鼠在发现了长着3颗坚果的树枝时，会放弃长着2颗坚果的树枝，这样它就更有可能保险过冬。

动物的计算有多笼统

关于老鼠来说，按压2次操作杆、听到2个声音、吃2粒种子，能否让它们认识到这些事情都是数量“2”的实例呢？或者它们能否发现来源于不同知觉通道的数字之间的联络呢？在不同知觉通道和动作方式之间对数量进行概括的才干是数量概念（number concept）的重要组成部分。举一个极端的例子，我们假定一个儿童在看到4件物品时能够稳定地说出数词“4”，但在听到4个声音或跳了4下时可能会随机地在数词“3”“4”和“9”之间选择一个。固然这个儿童在面对视觉刺激时有出色的表示，但是我们依旧不能以为这个儿童有“4”的概念，由于控制这个概念就意味着能够将其运用到各种不同的通道情境中。事实上，一旦儿童控制了一个数量，他们立刻就能够用它计算玩具车的数量，数出小猫叫了几声，或者能用它计算弟弟干了几件坏事。关于老鼠来说，状况又是怎样的呢？它们的数学才干是局限于某种知觉通道，还是笼统的？

鉴于对动物多通道知觉泛化的研讨胜利的很少，一切答案都只是尝试性的解释。不外，丘奇和梅克曾经证明，老鼠对数量进行表征时，是将其看作一个笼统参数的，而不是局限于听觉或者视觉等某一特定的知觉通道。他们再一次将老鼠放入一个有两个操作杆的笼子中，但是这次同时运用了视觉和听觉刺激序列。由于此前的学习，老鼠会条件反射地在听到2个音时按压左边的操作杆，听到4个音时按压右边的操作杆。这次，它们又被锻炼在看到2次闪光时按压左侧操作杆，看到4次闪光时按压右侧操作杆。实验的关键在于，这两种学习阅历在老鼠的脑中是怎样编码的。它们会将这两种阅历作为两项不相干的学问贮存在脑中吗？或者，老鼠学会了笼统的规则，好比“2是左，4是右”？为了寻觅答案，两位研讨者在一些实验轮次中将声音和闪光混合起来同时展示给老鼠。他们惊奇地发现，当他们同时呈现1个音和1次闪光，总共2个事情时，老鼠会立刻按下左侧的操作杆，而当他们呈现2个音和2次闪光所组成的总共4个事情时，老鼠会按压右侧的操作杆。动物们能够将它们的学问类推到全新的情境中。它们对数量“2”和“4”的概念并不只仅体往常低层次的视知觉和听知觉中。

在同时运用2个音与2次闪光的实验中，老鼠的特殊表示十分值得留意。要知道，在锻炼过程中，老鼠通常是在听到2个音或看到2次闪光后按压左侧操作杆从而得到奖励的。因而，听觉刺激“2个音”和视觉刺激“2次闪光”都与按压左侧操作杆相关。但是，当这两种刺激同时呈现时，老鼠却按下了与数量“4”相联络的操作杆！为了让大家更好天文解这个发现的重要性，我们能够把它与另一个实验相比较。在这个实验中，老鼠被锻炼为看到正方形（另一种刺激为圆形）时按压左侧操作杆，看到红色（另一种刺激为绿色）时也按压左侧操作杆。那么当老鼠看到1个红色的正方形，即两种刺激分离起来时，我敢打赌，它们一定会愈加坚决地按压左侧的操作杆。为什么在面对声音和闪光组合的刺激与外形和颜色组合的刺激时，它们的表示不一样呢？这个实验阐明，在某种水平上，老鼠“知道”，数与数相加和外形与颜色相加的方式并不相同。1个正方形加上红色就成了1个红色的正方形，但是2个音加上2次闪光却不能引发对“2”这个数更强的感受。确切地说，老鼠的脑似乎能够体会包含在“2+2=4”中的算术基本规律。

动物具有笼统的加法才干的最好例证或许来自美国宾夕法尼亚大学的盖伊·伍德拉夫（Guy Woodruff）和戴维·普雷马克（David Premack）所做的研讨。他们证明了黑猩猩能够进行简单的分数运算。在他们的第一个实验中，黑猩猩的任务十分简单：只需在2件物品当选出与给定物品外观相同的那一个，黑猩猩就能得到奖励。例如，实验者向黑猩猩展示一个盛有1/2杯蓝色液体的玻璃杯，黑猩猩就必须从2件物品当选出与此相同的物品。也就是说，盛有1/2杯液体的玻璃杯是正确的选择，由于另一个玻璃杯中的液体占了3/4杯。黑猩猩很快就控制了这个简单的外观匹配任务。接着，决策变得越来越笼统：实验者依旧向黑猩猩展示一个盛有1/2杯液体的玻璃杯，但选项变成了1/2个苹果和3/4个苹果。从外观上看，两个选项均与样例相去甚远，但是黑猩猩仍能够选择1/2个苹果，显然是1/2杯液体和1/2个苹果在概念上的相似性使它做出了这个决议。对分数1/4、1/2、3/4的测试都同样取得了胜利：这只黑猩猩知道一整个馅饼的1/4与一整杯牛奶的1/4具有相同的意义。

在最后的实验中，伍德拉夫和普雷马克证明了黑猩猩以至能够对2个分数的加法进行心算：当样例由1/4个苹果和1/2杯液体组成时，面对一整个圆盘和3/4个圆盘，它们中的大部分选择了后者，这比完整随机所预期的概率要高很多。显然它们对两个分数进行了心算，与分数的加法运算“1/4+1/2=3/4”没有什么不同。据推测，它们并没有像我们一样运用复杂的符号计算法，但是它们显然直觉般知道这些比例该怎样相加。

最后说一则关于伍德拉夫和普雷马克研讨的轶事。起初，他们研讨手稿的题目是“黑猩猩的原始数学概念：比例和数量”（Primitive mathematical concepts in the chimpanzee: proportionality and numerosity），一个编辑错误招致了它在科学期刊《自然》上的题目变成了“灵长类动物的数学概念”（Primative mathematical concepts）！固然这属于无心之失，但是这个改动并不是完整错误的。事实上，用“原始”（primitive）一词来描画这种才干是不恰当的。假如primative在这里指的是“灵长类动物所特有的”（specific to primates），那么这个新词用在这里就显得十分恰当，由于这种对分数进行相加的笼统才干至今还没有在其他物种中发现过。

另外，加法并不是动物在数字运算方面的全部身手，比较两个数量的多少是更为基础的才干，而且这种才干的确在动物中普遍存在。实验者向黑猩猩展示两个放着几小块巧克力的托盘，第一个托盘上有两堆巧克力，其中一堆有4块，另一堆有3块。第二个托盘上也有两堆巧克力，一堆有5块，还有1块巧克力被单独放置。实验者会给黑猩猩足够长的时间来认真察看这个情境，然后让它们选择一个托盘并吃掉托盘上的东西。你以为黑猩猩会选择哪个托盘呢？大多数状况下，没有经过锻炼的黑猩猩会选择放置巧克力总数更多的那个托盘（见图1-5）。贪婪的灵长类动物必须自发地计算第一个托盘上巧克力的总数（4+3=7）和第二个托盘上巧克力的总数（5+1=6），最后得出7大于6的结论，从而以为选择第一个托盘有更大的优势。假如黑猩猩不会做加法，而是满足于选出单堆巧克力块数最多的托盘，那么状况就不应该是这样，由于第二个托盘上由5块巧克力组成的那堆比第一个托盘上的恣意一堆都多，固然第一个托盘上巧克力的总数更大。显然，将两数相加和之后进行比较的操作都是其做出胜利选择所必须的。

黑猩猩会自发地在两个托盘当选择放置巧克力总数更多的那个托盘，表示出与生俱来的对数量进行相加和粗略比较的才干。

图1-5　黑猩猩的选择

资料来源：重印自Rumbaugh et al., 1987。

固然黑猩猩在从两个数量当选择较多数量时有十分好的表示，但它们仍会出错。这类错误向我们提供了十分重要的线索，使我们能够了解它们所采用的心理表征的实质。若两个数量有显著不同，好比2和6，黑猩猩简直不会出错，它们通常会选择数量多的。但当两个数量越来越接近时，它们的表示会越来越差。当两个数量只相差一个单位时，只需70%的黑猩猩做出了正确的选择。这种错误率和两个数量差距之间的稳定依存关系被称为距离效应（distance effect）。它通常随同大小效应（magnitude effect）产生。当数量差距相同时，数量越多表示就越差。黑猩猩在得出“2>1”的判别时没有任何艰难，即便这两个数量只相差一个单位。但是，当它们比较2和3、3和4等较多的数量时出错率就会提升，数量越多，错误率越高。除了黑猩猩外，相似的距离效应和大小效应在许多任务和许多物种中均被发现，包含鸽子、老鼠，以及海豚。没有一种动物能够逃离这些行为规律——包含人类。

为什么距离效应和大小效应的存在具有重要的意义？由于它们再一次证明了动物不能对数量进行数值性或离散性的表征。只需开端的几个数字——1、2和3，能够被精确地辨认。数量一旦变多，判别就会变得含糊。数量内在表征的变异性与表征数量的大小成正比。这就是为什么当数质变多时，动物就很难分辨数量n和相邻数量n+1。但是，我们不能由此以为，老鼠或者鸽子的脑不能处置数值大的数量。事实上，当数量间距足够大时，动物仍能够胜利地域分和比较数值很大的两个数量，好比45和50。动物对大数表征的不精确性使它们无法辨认49和50在算术上的区别。

固然遭到内部不精确性的限制，但是我们依旧能够经过许多例子证明动物的确具有适用的数学工具。它们能够将两个数量相加，并自发选出两者中较大的那一个。我们有必要对动物的这种才干感到诧异吗？试想一下，这些实验还会有其他结果吗？当一只饥饿的狗面对一整盘和半盘同款食物进行选择时，它们难道不会自然地选择数量更多的那盘吗？它若不选一整盘食物，结果可能是灾难性的，这种行为并分歧理。恐怕关于一切生物来说，选择两份食物中较多的那一份都是生存的先决条件之一。在进化过程中，动物构成了搜集、贮存和捕获食物的复杂战略，因而，许多物种具有“比较两个数量的多少”这种简单才干也不应当令人感到诧异。心理比较的算法很可能在更早以前就呈现了，以至很可能在进化过程中被彻底改造了许多次。究竟，即便是最原始的有机生命体也必须永无止境地寻觅最适合的环境：最多的食物，最少的捕食者，最多的异性配偶，等等。生命体为了生存，必须不时地做出最优的选择，而为了选择最优，就必须学会比较。

我们还需求了解进行此类计算和比较的神经机制。鸟、老鼠和灵长类动物的脑中存在微型计算器吗？它们是怎样运作的？

蓄水池隐喻

老鼠是如何知道“2+2=4”的呢？鸽子又是如何比较45次和50次啄击的呢？依据我的经验，这些从动物身上得出的结论经常会引发狐疑、讪笑以至愤恨，特别当听众是数学教授时！在西方社会，从欧几里得和毕达哥拉斯时期开端，数学就被视为人类成就的高峰。我们将其视作一种至高的技艺，需求经过不懈的教育才干取得，或者需求具有一种与生俱来的天赋。在许多哲学家看来，人类的数学才干由言语才干衍生而来，所以，以为没有言语功用的动物能够计数是匪夷所思的，更不用说它们能对数量进行计算。

在这一背景下，我之前讲述的关于动物行为的察看都极有可能被单纯地看作预料之外、离经叛道的科学结论。没有理论框架的支持，这些研讨结果会被孤立起来，固然它们不同寻常，但究竟不是定论，因而仍缺乏以质疑“数学＝言语”的想法。简单地说，为了突破这种现象，我们需求一个能够明白解释“为什么没有言语也能够计数”的理论。

侥幸的是，这样的理论是存在的。事实上，我们熟知的一些机械设备与老鼠的表示极端相似。例如，一切汽车都配备有计数装置，用以记载从车辆初次上路开端累计的里程。这种计数装置最简单的方式就是一个齿轮，每增加一公里就向前滚动一个槽位。准绳上，这个例子解释了一个简单的机械设备是如何记载累计数量的。那么，为什么生物系统就不能运用相似的计数准绳呢？

汽车计数器（car counter）的例子并不圆满，由于它运用的数量符号系统极有可能是人类独有的。为了解释动物的算术才干，我们应该寻觅一个更为简单的比方。想象鲁滨孙被困在孤岛上，孤独又无助。为了便于讨论，我们假定一次头部的重击使他丧失了言语才干，致使他不能运用数词来进行计数或计算。那么，在现有条件下，鲁滨孙该怎样找到替代品来构筑一个近似的“计算器”呢？实践上，这比想象的要简单。假定鲁滨孙在左近发现了一口泉，他用一根大圆木建成一个蓄水池，并把它放置在泉水旁。水不直接流到蓄水池中，而是由一根竹管导入其中。在这个以蓄水池为中心的基础设备的辅佐下，鲁滨孙将能够进行计数、加法运算和近似数值大小的比较。这个蓄水池使他能够像老鼠或鸽子一样大致上控制算术技艺。

假定一艘载着食人者的独木舟正在向鲁滨孙的孤岛上驶来，当鲁滨孙用望远镜看到这一切时，他该如何应用他的“计算器”来记载食人者的人数呢？首先，他必须将蓄水池清空。其次，每当一个食人者登陆，鲁滨孙便将一些泉水引到蓄水池里。在此过程中，每一次引水的持续时间是固定的，并且水流量一直坚持稳定。这样就能够保障每一个食人者登陆时，流入蓄水池中的水量基本是固定的。最后，蓄水池的总水位等于单次引水的水位的n倍。此时，最终的水位就能够作为登陆的食人者总数量n的近似表征，由于水位仅取决于所记载事情的次数。其他参数，好比事情的持续时间、事情的距离等，对水位都没有影响。因而，蓄水池最后的水位就同等于登陆食人者的数量。

经过标记蓄水池的水位，鲁滨孙就能够记载有多少食人者上了岸，他在之后的计算中可能会用到这个数量。好比第二天，第二批食人者来了。为了估量食人者的总人数，鲁滨孙要先往蓄水池中注水，使水位抵达前一天的标记处，然后每当一个新来的人上岸，他就会像之前那样往蓄水池中引入固定量的水。在完成这项操作之后，蓄水池中的水位抵达了新的高度，这个高度代表了来到岛上的两批食人者的总数。经过在蓄水池中刻上不同的标记，鲁滨孙能够把这些计算结果永世地记载下来。

第三天，一些食人者分开了这座岛。为了预算他们的数量，鲁滨孙清空了蓄水池，重复上述程序，每分开一个人他就加一些水。他认识到代表分开人数的水位线远低于前一天的标记。经过比较两次的水位，鲁滨孙得出了一个让他懊恼的结论：曾经分开的食人者的人数极有可能少于前两天上岸的食人者的总人数。总之，鲁滨孙用他粗陋的设备完成了计数、简单加法运算和比较计算的结果，这个过程正如前述实验中的动物所做的那样。

这样的累加器存在一个明显的缺乏：固然数量是离散的，但它们却是由连续量——水的高度来进行表征的。鉴于一切物理系统固有的可变性，在不同的时间，相同的数量可能由蓄水池中不同的水量来表示。例如，我们假定水流量不是固定的，而是在每秒4～6升之间变更，平均每秒5升。假如鲁滨孙引了0.2秒的水，那么被引入的水量平均为1升，但是实践水量会在0.8升和1.2升之间变更。因而，假如他对5个个体进行了计数，那么最后水量会在4到6升之间，鉴于对4个或6个个体计数也能够抵达同样的水位，所以鲁滨孙的计算器不能够精确地域分4、5、6这3个数量。假如6个食人者登陆，然后其中5人分开了，鲁滨孙可能会由于漏算了其中一人而面临风险。这正是我在本章开头所描画的故事中乌鸦所面临的状况！鲁滨孙能够更好地分辨差距较大的数量，这就是距离效应。这个效应会随着数量的增大而越来越显著，即大小效应，它同样是动物行为的特征。

可能有人会以为我所描画的鲁滨孙并不十分聪明。为什么他不运用石子，而是运用不精确的水面高度来计数呢？每数一个物品就向碗里放一颗石子，能够辅佐他离散而精确地表征数量。运用这种措施，即便面对复杂的减法也能够避免错误。但是鲁滨孙的工具在这里是用来模仿动物的脑的，至少老鼠和鸽子的神经系统不能运用离散的标记来计数。神经系统在实质上就是不精确的，也不能够精确地记载曾经数过的每项个体。因而，面对越来越大的数量，误差也越来越大。

固然这里以一种非正式的方式描画了蓄水池模型（accumulator model），但它实践上是一个十分紧密的数学模型，它所表白的数量大小和数量距离之间的函数关系能够精确预测动物行为的差别。因而，蓄水池的比方有助于我们了解，为什么老鼠在每个实验轮次中会有不一样的表示。即便是在经过大量的锻炼以后，一只老鼠也无法精准地按压4次操作杆，但是它能够在不同实验轮次中按压4次、5次或6次。我以为，这是由于老鼠从基本上就不能像人类一样，用一种离散的方式来分别表征数量。关于一只老鼠来说，数量就是一个近似的大小，随时在变更，好像声音的持续时间一样转眼即逝，也像颜色饱和度一样隐晦难懂。即便同一个需求辨认的声音序列被播放两次，老鼠也不能够知觉到确切的声音数，而只是在脑内的“蓄水池”中构成上下动摇的水位。

当然，蓄水池只是一个生动的比方，它仅展示了一个简单的物理设备如何详尽地模仿动物算术。老鼠和鸽子的脑中没有水龙头和容器，那么我们是不是能够以为，脑中的神经系统可能具有与蓄水池模型中的元件相似的功用？这个问题依旧没有定论。目前，科学家们才刚刚开端了解各种药物对某些参数的影响。好比，向老鼠体内注射某种有迷幻作用的物质似乎会加快内部计数。被注射了这种物质的老鼠在听到4个声音组成的序列时，会做出听到5个或者6个声音时的反响，似乎往“蓄水池”中注水的速度由于这种物质而加快。每数一个个体，引入蓄水池的水量都要比之前的量多，从而招致最终水位变高。这就是为什么输入4会得到输入6时的反响。但是我们仍不了解这种物质招致的加速效应所作用的脑区，相应的脑回路更是个谜。

数量探测神经元

固然我们并不了解担任数量加工的脑回路，但是对神经网络的模仿却能够被用来推测可能的脑回路组织方式。神经网络模型（neural network models）是一种能够在传统的数字计算机上运转的算法，可用于模仿真实脑回路中可能的运算方式。当然，与真实神经元网络的极度复杂性相比，这种模仿通常曾经将其大大简化了。在大多数计算机模型中，每一个神经元被简化为一个数位单元，其活动的输出水平在0和1之间变更。兴奋单元经过不同权重的联合方式激起或抑止临近以及更远的单元，这正是真实神经元间突触联合的模仿物。在每一步中，每个模仿单元都把来自其他单元的输入信息累加起来，而该单元能否被激活则取决于累加的总数能否超出阈限值。这种对真实神经细胞的模仿是粗略的，但是其中心属性被保存了下来：许多简单的数学运算需求多个回路中的神经元同时参与其中。大多数神经生物学家以为，“大范围的并行加工”这一属性是脑能够在短时间内运用相对迟缓和不牢靠的生物硬件进行复杂运算的关键。

神经元并行加工（parallel neuronal processing）的方式能够被用于加工数量吗？在巴黎巴斯德研讨所的神经生物学家让-皮埃尔·尚热的辅佐下，我提出了一个实验性的模仿神经网络模型，是有关动物如何从环境中快速和并行地提取数量的。我们的模型提出了老鼠和鸽子都能够处置的简单问题：当视网膜接纳到不同大小的输入、耳蜗接纳到不同频率的声调时，模仿神经网络能否计算出视觉和听觉客体的总数？依据蓄水池模型，每接纳一次输入之后向内在累加器添加固定的量，就能够计算出这个数量。艰难之处在于，要应用模仿神经网络来完成这个任务，并要得到一个与视觉对象的大小、位置无关，与听觉对象的持续时间无关的数量表征。

我们设计了一个能够把视觉输入的大小进行规范化的回路来处置这个问题。这个网络会探测到对象投射在视网膜上的位置，并为该位置上的每个对象分配数量大致相等的生动的神经元，而不思索对象的大小和外形。这个规范化的步骤十分重要，由于它使网络能将每一个对象记为“1”，而不论其大小。就像我们会在后文中看到的那样，对哺乳动物而言，这样的运算很可能是由后顶叶皮层的回路来完成的，它主要担任对物品位置进行表征，而不思索物品的确切外形和大小。

我们也对听觉刺激做了相似的处置。不思索接受刺激的时间距离，听觉输入在一个记忆存储器中进行累加。一旦完成了大小、外形和呈现时间的规范化，估量数量就变得简单了——只需估量规范化的视觉地图上和听觉存储器中总的神经元活动即可。这个总数同等于蓄水池中水的最终高度，它提供了一个合理牢靠的估量数值。这个模型的求和操作是由一组单元担任的，这些单元汇合了一切潜在的视觉和听觉单元的激活。在特定状况下，这些输出单元只需在接纳到的总激活值落入特定范围时才会放电，这个范围因神经元而异。因而，每个模仿神经元就好像一个数量探测器（numerosity detector），只需在看到近似某个数量的对象时才会做出反响（见图1-6）。例如，网络中的一个单元在呈现4个对象时优先做出反响——4个视觉物块，4个声音，或者2个视觉物块加2个声音。这个单元极少对呈现3个或5个对象的情境做出反响，在其他状况下则更不会有反响。所以这个神经元就好像一个针对数量4的笼统探测器。此类探测器能够完好地掩盖整条数轴，每一个探测器对应某一个近似值，而当数量逐步增大时，对应的精确性就会降落。由于模仿神经元同时处置一切的视觉和听觉输入，数量探测器阵列的反响速度很快——它们能够并行加工整个视网膜上的一切信息，并预算4个物品的汇合数量，而不用像计数那样一个一个地数。

“数量探测器”对某一特定数量的输入次数优先做出反响（a）。每条曲线代表各个单元对不同数量项目的反响。值得留意的是，随着输入数量的增加，反响的选择性降落。在20世纪60年代，汤普森及同事对猫进行麻醉，随后在其分离皮层上记载到相似的“数量编码”神经元（b）。图中展示的神经元优先对6个连续事情做出反响，不论是距离1秒的6次闪光，还是距离4秒的6个声音。

图1-6　一个包含“数量探测器”的电脑模仿神经网络

资料来源：上图改编自Dehaene & Changeux, 1993；下图改编自Thompson et al., 1970。版权一切1970 by American Association for the Advancement of Science。

令人惊叹的是，科学家在动物脑内不止一次地发现了上述模型中提出的数量探测神经元。在20世纪60年代，美国加州大学欧文分校的神经科学家理查德·汤普森（Richard Thompson）在他的实验中向猫展示了一系列声音或闪光，并记载下猫的大脑皮层中单个神经元的活动。一些细胞只需在某一特定数量的事情发作时才会被激活。例如：一个神经元在恣意6个事情发作后做出反响，不论是6次闪光、6个短音还是6个长音。觉得通道似乎并不重要——神经元显然只关注数量。不同于电子计算机，它并不以全或无的离散方式来反响，相反，它的激活水平在5个项目之后开端增长，在6个项目时抵达高峰，在更多项目呈现时降落。这种反响属性与我们模型中的模仿神经元十分相似。在猫的脑皮层中的这一小块区域内还记载到许多相似的对不同数量做出反响的神经元。

因而，动物脑中可能存在一个特异性的脑区，其作用与鲁滨孙的蓄水池相同。汤普森的研讨在1970年刊登在了著名的《科学》杂志上，遗憾的是，这个研讨并没有得到后续的关注。我们依旧不知道动物脑中的数量探测神经元能否以我们在模型中所预期的方式联合，或者猫能否会经过其他方式来提取数量。毫无疑问，只需那些勇于运用现代神经元记载工具继续探求动物算术的神经元基础的神经生物学家，才干最终找到答案。

含糊的计数

假如累加器模型是正确的，那么无论神经元细致如何执行，我们都能得到以下两个结论：第一，动物能够计数，由于每当一个外部事情发作时，它们的内部计数器就会增加1个单位。第二，它们的计数方式与人类的不同。动物的数量表征是含糊的。

人类在计数时，会运用一系列精确的数量词，不让错误有隙可乘。每计入1个项目就会相应地在数量序列中增加1。对老鼠来说可不是这样，它们的数量像是一个虚拟的蓄水池中不时变动的水位。不同于人类“+1”的严苛逻辑，当老鼠向变更的总数中增加1个单位时，这项操作只能运用含糊的近似值，更像往鲁滨孙的蓄水池中参与一桶水。老鼠的状况让人联想到《爱丽丝镜中奇遇记》中爱丽丝遇到的算术困境：

“你会做加法吗？”白皇后问道，“1加1加1加1加1加1加1加1加1加1是多少？”

“我不知道，”爱丽丝回答，“我数不清了。”

“她不会做加法。”红桃皇后打断了她的话。

固然爱丽丝可能没有足够的时间来口头数数，但是她应当能够在一个大致范围内估量出总数。与此相似，老鼠需求经过非词语或非数学符号的方式来进行近似计数。人类的口头计数与动物有很大不同，我们很可能基本不应该讨论动物的“数字”概念，由于“数字”一词通常指离散的笼统符号。这就是为什么当科学家讨论动物的数量知觉时，会用“numerosity”（数量）或“numerousness”（数量）这样的词而不是“number”（数字）。累加器使动物能够估量事情的大致数量，但不能够计算确切的数字。动物的思想只能记住含糊的数量。

难道人类真的无法教动物学会一种数字符号吗？我们能不能教它们认识一系列与人类的数字符号和数词相似的离散数字标记，然后让它们了解这些标记其实代表着确切数目呢？事实上，这类实验略有效果。在20世纪80年代，日本研讨者松泽哲郎（Tetsuro Matsuzawa）教会一只名为Ai的黑猩猩运用随机布置的一些符号来表示物体汇合（见图1-7）。每个用来替代单词的小图片占领电脑键盘上的一格。黑猩猩能够选择按任何一格来表示它看到的东西。经过长时间的锻炼，Ai学会了运用14种物品符号、11种颜色符号，以及对人类来说意义最为严重的前6个阿拉伯数字。好比，当屏幕上显现3支红色铅笔时，黑猩猩首先会按正方形中有黑色菱形的符号，这个符号表示“铅笔”，然后它会按下被水平线条贯串的菱形（表示“红色”），最后它会按下手写体数字“3”。

日本的灵长类动物学家松泽哲郎教授他的黑猩猩Ai学习的词汇，图中展示了其中的一部分内容。Ai能够用这些词讲演小汇合物品的称号、颜色和数量。

图1-7　一套由视觉符号构成的词汇

资料来源：Matsuzawa, 1985;版权一切1985 by Macmillan Magazines Ltd。

这一系列行为很可能只是机械动作反射的复杂方式。但是，松泽哲郎证明，这些图案在某种水平上的确能够起到和文字一样的效果：将它们组合就能够描画新的情境。例如，假如黑猩猩学会了一个新的符号“牙刷”，它就能够部分地将其运用到新的情形中，好比“5支绿色的牙刷”或者“2支黄色的牙刷”。当然，这种泛化才干的表示仍存在频繁的错误。

从1985年松泽哲郎初次发表研讨成果至今，他的黑猩猩Ai在计算方面不时取得进步。它往常学会了前9个阿拉伯数字，并且对汇合计数能够抵达95%的正确率。关于反响时的记载表明，和人类一样，Ai会对大于3或4的数字进行串行计数。它也学会了将数字依据大小排序，不外，这项新才干的构成破费了多年时间。

从松泽哲郎的早期实验开端，至少有3个灵长类动物锻炼中心胜利地在一些黑猩猩身上重复了数字符号的学习。相似的才干也存在于与人类亲缘关系很远的物种中。经过锻炼的海豚能够将恣意物品与精确数量的鱼相匹配。在大约2 000次实验后，它们能够在两个对象当选择代表更多鱼的那个对象。来自美国亚利桑那州大学的艾琳·佩珀贝格（Irene Pepperberg）教她的鹦鹉亚历克斯（Alex）学习大量英语单词，其中包含前几个数词。亚历克斯在实验中表示出色，实验中不需求运用标示牌和塑胶代币，实验者能够运用规范英语来陈说问题，而亚历克斯能够即刻说出可辨认的单词来回答问题！实验者将一系列物品，如绿色的钥匙、红色的钥匙、绿色的玩具和红色的玩具，展示在亚历克斯面前时，它能够回答“有几把红色的钥匙”这种复杂的问题。当然，此前对它的锻炼也持续了很长时间——简直有20年。这些实验的结果证明了数量标记并不是哺乳动物所独有的。

更新的研讨发现，黑猩猩能够运用数字符号进行部分运算。好比，萨拉·博伊森（Sarah Boysen）教她的黑猩猩舍巴（Sheba）学习简单的加法和比较运算。舍巴必须先控制0至9的阿拉伯数字与相应的数量之间的关联。此类实验需求极大的耐烦。两年过后，舍巴逐步能够接受越来越复杂的任务。在第一个阶段，它只需求在棋盘的6个格子中各放上1块饼干。在第二个阶段，实验者向它展示1至3块饼干，请求它在一些卡片当选择点数与棋盘上的饼干数相分歧的一张。它由此学会了关注饼干和点的数目，并将点数与饼干数对应起来。在第三个阶段，带点的卡片逐步被相对应的阿拉伯数字替代。舍巴进而学会了辨认数字1、2和3，并且能够指出与饼干数对应的正确数字。最后，博伊森教舍巴学会了逆向操作：它必须从众多物品汇合当选择一个数目与指定的阿拉伯数字相匹配的汇合。

运用相似的战略，舍巴的学问逐步扩展到从0到9的整个数字序列。在锻炼的最后阶段，舍巴曾经能够灵活地将数字和对应的数量进行转换。这种才干被以为是符号认知的中心。符号代表着一种外形之外的躲藏含义，符号了解意指借助符号的外形来获取它的含义，而符号产出则需求依据想要表白的含义重现符号的外形。显然，在阅历了漫长而刻苦的锻炼之后，黑猩猩舍巴控制了这两种转换过程。

人类符号的一个重要特征是它们能够组合成句子，句子的意义源于组成它的词。好比，数字符号能被组合起来用于表示一个等式，如“2+2=4”。舍巴能不能分离多个数字进行符号运算呢？为了寻觅答案，博伊森设计了一个符号加法任务。她将橙子藏在舍巴笼子中的不同地点，好比2个橙子藏在桌子下，3个橙子藏在盒子中。舍巴会在可能藏有橙子的地点搜索，然后它会回到动身点，在几个阿拉伯数字当选择一个与找到的橙子总数相匹配的数字。从实验的第一轮次开端，舍巴就能胜利完成任务。接下来是这个实验的符号版本。这一次，它在笼子中四处寻觅时并没有发现橙子，而是找到了一阿拉伯数字，好比桌子下有数字2，盒子中有数字4。同样，当搜索终了后，它能够选出它所看到的数字的总和（2+4=6）。这个实验表明，黑猩猩能够辨认每一个数字，并在心理层面将其与数量相关联，计算出一切数量相加的结果，最后提取出该结果所对应的视觉方式。没有哪种动物能够像黑猩猩一样具有如此接近人类的符号计算才干。

即便是那些远不迭黑猩猩聪明的物种，也能够学会运用数字符号进行初步的心算。好比，由美国佐治亚州立大学的戴维·沃什伯恩（David Washburn）和杜安·朗博（Duane Rumbaugh）锻炼的2只恒河猴，名为阿贝尔（Abel）和贝克（Baker），它们表示出一种能够对阿拉伯数字所代表的数量进行大小比较的特殊才干。测试人员在计算机屏幕上给出一对阿拉伯数字，好比“2”“4”，阿贝尔和贝克运用支配杆来选择一个数字。之后一个自动分配器会给出相应数量的水果糖，这种水果糖是灵长类动物十分喜欢的食品。假如选择了数字“4”，它们就能够品味4颗水果糖，而假如选择了数字“2”，它们就只能得到2颗水果糖，这使它们有很强的驱动力选择较大的数字。事实上，这个任务与前文中的比较任务十分相似，独一的不同在于动物不是直接面对食物，而是将阿拉伯数字作为表示食物多少的符号表征。动物需求从记忆中提取出数字符号的意义，即它所代表的数量。

我必须指出，阿贝尔和贝克与舍巴不同，在测试开端前它们没有接受过任何关于阿拉伯数字的锻炼。这就是为什么它们需求经过上百个实验轮次才干学会稳定地选择较大的数字。舍巴曾经知道数字和数量的对应关系，所以在初次实验时就能在相似的数字比较任务中做出正确的回答。经过锻炼，阿贝尔和贝克也同样表示出色。当数字间距离足够大时，它们基本不会犯错，但是当数字只相差一个单位时，它们会有30%的错误率。我们在这个实验中发现了大家往常所熟知的距离效应，这种效应反映了在数字十分接近时容易产生混杂的倾向。

除了两个数字的任务，阿贝尔和贝克在面对3个数字、4个数字以至5个9以内的数字时也能够胜利做出选择，显然这两只恒河猴不可能经过融会贯通记住一切的正确答案。以至当测试者向它们展示全新的随机数字集时，好比“5、8、2、1”，它们也能以远高于随机的正确率选出较大的数字。

在讨论这个主题时，有一个现象值得一提，舍巴在被请求选择两个数字中较小的那个时，遇到了艰难，呈现了奇特的表示。实验情境十分简单：舍巴和另一只黑猩猩共同面对两组食物，当舍巴指向其中一组食物时，实验者就会把这组食物给另一只黑猩猩，而舍巴则会拿到它并未选择的那组食物。在这个新情境中，指向数量较少的那组食物更契合舍巴的利益，由于这样做能让它得到更多食物。但是，舍巴没有一次能做出正确的选择。它仍继续指向数量较多的那组，就似乎选择较多数量的食物是一种无法抑止的反响。随后，萨拉·博伊森用对应的阿拉伯数字替代食物实体。在第一轮实验中，舍巴立刻选择了较小的数字！数字符号解救了舍巴，让它能够不受实物的影响。数字符号使它解脱了不可抑止地选择较多数量食物的激动。

动物计算才干的局限

动物表示